Бесплатно готовьтесь к ОГЭ и ЕГЭ
С пробным доступом к курсам MAXIMUM Education
Реклама: ООО «Юмакс», ИНН 7730681080, ERID 2VtzqumyLJD
Картинка баннера

Все необходимые формулы для ЕГЭ по профильной математике — 2024

11.05.2024 Обновлено 13.05.2024 511
Анастасия Друшлякова
Преподаватель MAXIMUM Education по математике и химии

На ЕГЭ по профильной математике проверяют, умеют ли школьники оперировать математическими понятиями, решать сложные задачи и, конечно, применять формулы. Мы собрали все формулы для ЕГЭ по математике в одной статье, чтобы облегчить вам подготовку к экзамену.

В этой статье:

Что будет в КИМ, а что нужно выучитьФормулы сокращенного умноженияАрифметическая и геометрическая прогрессииВероятностьСвойства степенейСвойства логарифмовТригонометрияПроизводныеПервообразные
все формулы для егэ по математике

Что будет в КИМ, а что нужно выучить

Для решения ЕГЭ по профильной математике школьникам предоставляют справочные материалы. Однако в них есть только четыре тригонометрические формулы:

формулы по заданиям

Информации по другим темам в справочных материалах нет, поэтому выход только один — выучить формулы. Но простая зубрежка в математике — плохой помощник. Чтобы запомнить основные формулы, нужно постоянно тренироваться и решать задания из ЕГЭ — тогда они точно отложатся в голове и на экзамене вспомнятся уже на автомате. 

На курсах подготовки к ЕГЭ в MAXIMUM Education теорию объясняют простым языком, домашки дают в формате экзамена, а любой вопрос всегда можно задать преподавателю. С таким подходом высокий балл за ЕГЭ не будет проблемой!

Необходимые для выполнения ЕГЭ формулы можно разделить на несколько блоков. Рассмотрим каждый из них.

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) изучаются еще в средней школе. Это один из самых часто применяемых способов решения в математике. ФСУ пригодятся при решении уравнений (задания 6, 13), неравенств (задача 15), преобразовании математических выражений (номера 7, 9), выполнении задания 18 на параметр, работе с функциями (задания 11, 12), а также при решении многих математических примеров для упрощения подсчетов. 

Для успешной сдачи ЕГЭ по профильной математике необходимо запомнить следующие формулы.

Разность квадратов: a2b2 = (ab)(a + b).

Квадрат суммы: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Квадрат разности: (ab)2 = a2 – 2ab + b2.

Обратите внимание, что последние две формулы различаются только знаком перед 2ab: если вы ищете квадрат суммы, там стоит плюс, если квадрат разности — минус.

Квадрат суммы трех слагаемых: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.

Куб суммы: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Эта формула похожа на квадрат суммы, только а справа налево постепенно переходит от третьей степени до нуля, а b, наоборот, справа налево повышает свою степень — от нулевой до третьей. Перед a2b и ab2 вместо двойки стоит тройка.

Куб разности: (ab)3 = a3 – 3a2b + 3ab2b3.

Если перед b стоял минус, там, где b будет в нечетной степени (первой и третьей), также будет минус.

Сумма кубов: a3 + b3 = (a + b)(a2ab + b2).

Разность кубов: a3b3 = (ab)(a2 + ab + b2).

Всеми этими формулами можно пользоваться и в обратную сторону: если a2b2 = (ab)(a + b), то и (ab)(a +b) = a2b2

Также a, b, c в формуле могут быть не только числом, но и отдельным математическим выражением, что иногда мешает старшеклассникам увидеть, где применяется ФСУ.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Эта тема встречается в задании 10 при решении текстовых задач, а также во второй части в номере 16. 

Для арифметической прогрессии приняты следующие обозначения: a — член прогрессии, d — разность прогрессии (то есть число, на которое каждый последующий член увеличивается, если d положительно, или уменьшается, если d отрицательно), n — порядковый номер члена прогрессии.

Здесь пригодятся следующие формулы:

Разность прогрессии: d = an + 1an.

N-й член прогрессии: an = a1 + d(n – 1).

Также можно найти n-й член прогрессии как среднее арифметическое двух соседних членов:

нужные формулы для профильной математики

Сумма двух членов прогрессии: an + am = ap + aq, если n + m = p + q.

Сумма членов прогрессии: 

  • при известном последнем члене:
основные формулы
  • при известной разности прогрессии:
все формулы для егэ по математике

В случае с геометрической прогрессией член прогрессии обозначают как b, а число, во сколько раз увеличивается каждый последующий член или знаменатель прогрессии, как q

N-й член прогрессии: bn = b1 * qn – 1.

N-й член прогрессии как среднее геометрическое двух соседних членов:

формулы по заданиям

Произведение двух членов прогрессии: bn * bm = bp * bq при n + m = p + q.

Сумма членов прогрессии:

нужные формулы для профильной математики

при q не равном 1.

Вероятность

В ЕГЭ по профильной математике встречается два задания на вероятность: номер 4 базового уровня сложности и 5 — повышенного. 

Для работы с вероятностями нужно понимать определение вероятности: вероятность — это отношение числа благоприятных исходов к числу всех исходов. 

формулы по заданиям

где P – искомая вероятность, m — число благоприятных исходов, n — число всех исходов.

Например, если мы побеждаем в настольной игре при выпадении числа 4 на игральном кубике, то число благоприятных исходов — 1 (победа только при выпадении одного числа), а число всех исходов — 6 (столько возможных чисел может выпасть). Тогда вероятность победы составляет 16.

Сумма вероятностей всех возможных событий составляет 1:

P1 + P2 + … + Pn = 1.

Чтобы найти вероятность двух взаимоисключающих событий, то есть вероятность того, что случится либо первое, либо второе событие, нужно сложить две вероятности:

P = P1 + P2.

Например, мы побеждаем в игре, если на кубике выпадает число 4 или 6. Чтобы найти вероятность победы, нужно сложить вероятности выпадения чисел 4 и 6: 

основные формулы

Если мы хотим найти вероятность двух не взаимоисключающих событий, то есть вероятность того, что оба события произойдут, нужно перемножить вероятности этих двух событий:

P = P1 * P2.

Например, мы бросаем кубик и побеждаем, если оба раза выпадает число 4. Значит, вероятность победы составляет 

все формулы для егэ по математике

То есть, если мы ищем вероятность того, что произойдет ИЛИ первое, ИЛИ второе событие — складываем. Если ищем вероятность того, что произойдут ОБА события — умножаем.

Для решения заданий на вероятность необходимо знать всего четыре формулы, но все равно у старшеклассников возникают сложности с ними. Здесь нельзя слепо пользоваться формулами и просто делить меньшее число на большее. Важно логически рассмотреть условие задачи, при необходимости — сделать рисунок или схему.

Свойства степеней

нужные формулы для профильной математики

Свойства логарифмов

Логарифмы могут встретиться на ЕГЭ по профильной математике как в первой части — в номерах 6, 7, 9, 11 и 12, так и во второй — в заданиях 13 (решение уравнений) и 18 (задание с параметром). 

Логарифм — это действие, обратное возведению в степень. Если мы ищем b , то ищем степень, в которой число a даст число b

Основные свойства логарифмов:

основные формулы

Тригонометрия

Тригонометрия встречается в заданиях 1, 2, 7, 9, 11–14 и 17. Рассмотрим формулы по заданиям.

Первая формула в тригонометрии дается школьникам довольно просто — это основное тригонометрическое тождество (ОТТ): 

sin2x + cos2x = 1.

С этой формулой косвенно связана другая — произведение тангенса и котангенса:

tgx * ctgx = 1.

Дополнительно к ним в справочных материалах вы найдете еще четыре формулы, о которых мы рассказывали в начале статье:

все формулы для егэ по математике

Кроме этих шести формул, для решения заданий, в которых встречается тригонометрия, старшеклассникам пригодятся еще несколько:

формулы по заданиям

Заучить все тригонометрические формулы довольно сложно, поэтому обязательно научитесь выводить их. Как это сделать, используя ОТТ и справочные материалы, мы рассказали в этой статье

Производные

Эта тема встречается в заданиях 8 и 12. 

Производная — это скорость изменения функции. Если она положительна в данной точке, функция в этой точке возрастает, если отрицательна — убывает.  

Если функция задана графиком, то производная в каждой точке графика отражает скорость изменения функции и численно равна тангенсу угла наклона касательной в этой конкретной точке к графику функции. Это геометрический смысл производной:

нужные формулы для профильной математики

Если же функция задана формулой, то для ее нахождения воспользуйтесь правилами нахождения производной или правилами дифференцирования.

  1. Чтобы найти производную произведения функции на константу (число), нужно найти произведение этого числа и производной этой функции:
  1. Производная суммы (или разности) равна сумме (или разности) производных:
  1. Производную произведения двух функций можно найти по формуле
  1. Для нахождения производной частного двух функций необходима более сложная формула:
  1. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции:

Значения производной для элементарных функций собраны в этой таблице:

все формулы для егэ по математике

Первообразные

Понятие первообразной функции пригодится в задании 8. 

Функция F(x) является первообразной для функции f(x), если выполняется равенство F’(x) = f (x). То есть, если в предыдущей теме вы искали производную при известной функции, то здесь ищете функцию по известной производной. Поэтому функция F(x) и называется первообразной: она своеобразный «предок» функции f(x).

К сожалению, при нахождении первообразной нельзя просто воспользоваться таблицей для нахождения производной функции, приведенной выше. Если вы были внимательны, то заметили, что при нахождении производной функции f(x) = g(x) + С, где g(x) — любая функция, а С — некое число, мы в любом случае получаем производную функции g(x), а константа С теряется. 

То есть для любой функции существует бесконечное число первообразных, ведь С может быть любым числом. Поэтому при нахождении первообразной нужно обязательно указывать +С, иначе мы не учитываем все возможные варианты первообразной.

Таблица для нахождения первообразной:

формулы по заданиям

Нужные формулы для профильной математики не получится просто зазубрить: чтобы заработать на экзамене высокий балл, нужно понимать их и уметь применять в заданиях. Научиться делать это вы сможете на курсах подготовки к ЕГЭ в MAXIMUM Education. Опытный преподаватель, который сам написал экзамен на высокий балл, поможет вам разобраться в теории, научиться выводить нужные формулы и с их помощью решать задания без ошибок.

guest
0 Комментарий
Inline Feedbacks
View all comments